Cuando la clave de respuestas y los solucionarios están mal: un ejercicio de deformaciones — I. Miroliúbov, Ejercicio 24

Los solucionarios de «los 7 rusos» circulan por toda Latinoamérica desde hace décadas, y con ellos circulan también sus errores. El problema 1.24 del Miroliúbov es un buen espécimen: un enunciado de tres líneas, una respuesta limpia, una respuesta incorrecta publicada y, si uno insiste en exprimirlo, una lección de mecánica del continuo que el propio enunciado no sospecha.

Una aclaración antes de empezar, porque la expresión aparece más adelante y se presta a confusión: aquí «segundo orden» significa refinar la cinemática más allá de las deformaciones infinitesimales — elasticidad finita —, no el análisis P-Δ de la ingeniería estructural. El P-Δ, rotación grande con deformación pequeña, está bien planteado y no sufre la ambigüedad que este post construye; la distinción exacta queda precisada al final.

Enunciado

Un tubo de acero de longitud $l = 100$ cm tiene cavidad de diámetro $d = 2$ cm y diámetro exterior $2d = 4$ cm. Bajo carga axial de tracción $P$, el volumen de la cavidad aumenta $\Delta V = 0.1\ \text{cm}^3$. Con $E = 2\times 10^6\ \text{kgf/cm}^2$ y $\nu = 0.3$, hallar $P$.

El enunciado es el problema 24 de la sección 1.3 de [1] — el «1.24» del título. La numeración cambia entre ediciones y traducciones, así que un lector con otra tirada puede encontrarlo bajo otro número.

Solución lineal

Geometría:

Estado de tensión uniaxial homogéneo: $\sigma_z = P/A$, con superficies laterales libres de tracción, tanto la exterior como la interior, de modo que $\sigma_r = \sigma_\theta = 0$ en todo el espesor. Quien acaba de ver tubos de pared gruesa espera aquí la solución de Lamé, con $\sigma_r$ y $\sigma_\theta$ variando con el radio; no aplica porque no hay presión interna ni externa: la carga es axial pura y el estado uniforme satisface ambas fronteras libres de manera exacta, no aproximada. El tratamiento estándar de ambos estados —el uniaxial homogéneo y el de Lamé— está en [2], [3].

Las deformaciones son entonces uniformes:

El punto que decide el problema es que la cavidad es un vacío cuya frontera es material. Su diámetro se deforma con $\varepsilon_t$ —que es negativo: el agujero se estrecha— y su longitud con $\varepsilon_z$, exactamente igual que cualquier fibra del sólido. A primer orden:

Despejando:

En forma cerrada, con $D = 2d$:

$P$ no depende de $\pi$ por construcción — los $\pi$ de área y volumen se cancelan — y con los datos del enunciado el resultado es exacto en aritmética entera, señal de que el problema fue diseñado alrededor de esta cadena.

Chequeo de límite: si $\nu \to 0.5$ (material incompresible), la fórmula diverge. Correcto. Un material que no cambia de volumen no puede producir $\Delta V_{\text{cav}} \neq 0$ bajo este estado de tensión, así que no existe $P$ finito que satisfaga el dato. La divergencia ahí no es defecto de la fórmula, es la física respondiendo que el dato se volvió imposible.

La respuesta incorrecta que circula

La respuesta $P = 3750$ kgf no es una corrupción de las fotocopias: está impresa en el libro. La clave de respuestas de [1] da, para el problema 24, «3750 kgf» en la p. 456.

Lo que importa no es la cifra sino de dónde sale, y no sale de un desliz aritmético ni de una errata. Sale de una decisión conceptual tomada antes de escribir la primera ecuación: suponer que la cavidad se ensancha. Es la primera intuición de casi cualquiera —si el tubo se estira, el agujero «se abre»— y es falsa. La cinemática dice lo contrario. En la figura 2 el diámetro de la cavidad pasa a valer $d(1+\varepsilon_t)$ con $\varepsilon_t = -\nu\,\varepsilon_z < 0$: bajo tracción axial el agujero se estrecha, exactamente igual que el diámetro exterior, y la figura 3 lo muestra a nivel del elemento material sobre la propia frontera del vacío. Lo que crece es el volumen, y crece porque el alargamiento longitudinal le gana a la doble contracción transversal, no porque el diámetro aumente:

Quien parte de «el agujero se ensancha» se ve obligado a sumar las tres dilataciones con el mismo signo, es decir a escribir $|\varepsilon_t|$ donde va $\varepsilon_t$, y obtiene $(1+2\nu)$ donde va $(1-2\nu)$:

exactamente la cifra de la clave. Y el paso es rastreable en un solucionario concreto: Arteaga et al. [3] plantean las expresiones generales de Hooke correctamente, con los signos que corresponden al estado uniaxial, y en un punto del desarrollo toman $\varepsilon$ en valor absoluto. De ahí en adelante la cadena es impecable y desemboca en la respuesta del libro. El error no está en la mecánica que se escribe, sino en el signo que se decide antes de escribirla —y por eso sobrevive a la revisión: todo lo que rodea al descuido está bien.

Conviene, eso sí, resistir la tentación del diagnóstico rápido. El cociente entre la respuesta impresa y la verificada,

admite dos lecturas que con los datos de este enunciado son indistinguibles:

La coincidencia es del enunciado, no de la mecánica: el primer factor vale $1/4$ únicamente porque $\nu = 0.3$ —con $\nu = 0.25$ daría $1/3$—, mientras que el segundo vale $1/4$ para cualquier $\nu$. Ninguna otra confusión natural de área o volumen aterriza en 3750, pero estas dos sí, y el número por sí solo no las separa. Lo que las separa es el procedimiento escrito, y el procedimiento escrito en [3] es el del valor absoluto.

¿Y si pedimos más precisión? Segundo orden y elasticidad finita

Con $\varepsilon_z = \sigma/E \approx 7.96\times 10^{-4}$, la tentación es «mejorar» la respuesta con cinemática exacta: trabajar con estiramientos $\lambda$ en vez de deformaciones infinitesimales, escribir el polinomio completo y quedarse con su raíz.

El planteo es legítimo y exacto. La deformación es homogénea, $\mathbf{F} = \operatorname{diag}(\lambda_t, \lambda_t, \lambda_z)$, así que $\operatorname{div}\boldsymbol{\sigma} = 0$ se satisface idénticamente para cualquier ley homogénea y la cavidad pasa a ocupar $J\,V_{\text{cav}}$ con $J = \lambda_t^2\lambda_z$: la relación $\Delta V_{\text{cav}}/V_{\text{cav}} = J - 1$ vale a todo orden, sin aproximación de campo. Hay, pues, un polinomio genuino que resolver.

Lo instructivo es lo que ocurre al resolverlo. Con $\lambda = 1+\varepsilon$,

Los términos con potencias superiores de $\lambda$ no es que sean pequeños: son inertes. El bloque cuadrático pesa un $0.10\,\%$ del lineal; el cúbico, un $1.4\times 10^{-5}\,\%$ — mueve la séptima cifra significativa de un dato que tiene una. Buscar los ceros del polinomio completo en vez de resolver la ecuación lineal es aritmética, no mecánica: todo el contenido no-lineal disponible cabe en el término cuadrático.

Ese $0.10\,\%$ tampoco llega intacto a $P$: llega amplificado. Las medidas de deformación difieren entre sí a $O(\varepsilon^2)$, pero el dato —la dilatación— es él mismo el pequeño $(1-2\nu)\varepsilon$, y divide, así que la diferencia relativa en $P$ es $O\!\left(\varepsilon/(1-2\nu)\right)$: primer orden, no segundo. Es la misma degeneración $(1-2\nu)$ que produce el bloqueo volumétrico en elementos finitos [5].

Y ahí, justo cuando el refinamiento parecía entregar algo, aparece el resultado negativo: esas décimas de por ciento no son un número, son un intervalo. «Acero con $E$ y $\nu$» no define una única teoría más allá del primer orden, y las extensiones naturales —hacer lineal la relación entre distintos pares conjugados de deformación y tensión— coinciden a $O(\varepsilon)$ por construcción y se abren en abanico exactamente donde vive la corrección:

El resultado lineal ni siquiera queda en el centro del recorrido, sino al 24 % de él. Y el abanico no está acotado: esos tres modelos son tres puntos vecinos de la familia de Seth–Hill $E^{(m)} = (U^m - I)/m$ [4] —$m \to 0$ da Hencky, $m = 1$ Biot y $m = 2$ Green–Lagrange—, y haciendo lineal la ley en el par conjugado de cada $m$,

verificado numéricamente para $m \in \{-2,\dots,3\}$: $P$ es lineal en $m$, y restringirse a $m \in \{0, 1, 2\}$ es convención, no argumento. No hay «banda de las teorías razonables»; hay una recta sin cota.

El refinamiento entrega, entonces, una corrección del mismo tamaño que la ambigüedad sobre cuál corrección aplicar. La raíz del polinomio es trivial de obtener; lo que no tiene es más significado que la del caso lineal. No es error numérico: es indeterminación constitutiva, y ningún experimento a $\varepsilon \sim 10^{-3}$ la resuelve — el acero fluye antes, en $\varepsilon_y \approx 1.2 \times 10^{-3}$, con el tubo ya al 66 % de esa deformación.

Dos objeciones prácticas rematan el punto sin necesidad de elasticidad finita: $\Delta V = 0.1$ cm³ tiene una cifra significativa, que leída con la mejor voluntad como $0.100$ ya da $\pm 0.5\,\%$ de incertidumbre de entrada —más que el abanico completo de $0.4\,\%$—, y el $E$ del acero varía $\pm 2$–$3\,\%$ entre coladas. La petición práctica de segundo orden muere por cifras significativas; la objeción constitutiva es la interesante porque sobrevive aun si $\Delta V$ y $E$ fueran exactos.

Lo que el problema enseña de verdad

1. A primer orden, la cavidad se deforma como el material que la rodea, y la dilatación volumétrica $(1-2\nu)\varepsilon$ aplicada al volumen correcto da $P = 15\,000$ kgf. Es la única afirmación con contenido físico a la escala de deformación del problema.
2. El error publicado es conceptual, no aritmético: nace de suponer que la cavidad se ensancha y se materializa en un $|\varepsilon_t|$ que convierte $(1-2\nu)$ en $(1+2\nu)$. Sobrevive décadas de fotocopias porque la mecánica que lo rodea es correcta y el resultado no choca con ninguna intuición — la intuición es justamente lo que falla.
3. La «corrección» de segundo orden no existe como número único. Los términos de orden superior en $\lambda$ son numéricamente inertes, y lo poco que aportan queda amplificado por $1/(1-2\nu)$ hasta el mismo tamaño que la ambigüedad sobre qué ley constitutiva usar. El modelo lineal no aproxima a una teoría no-lineal privilegiada: es el tronco común de una familia que solo el experimento, a deformaciones mucho mayores, podría separar.

Ese último punto es la razón por la que un problema de primer capítulo merece un post. Pero la moraleja tiene un borde exacto que conviene no desdibujar. La rotación grande con deformación pequeña — el análisis P-Δ de un pórtico, el NLTHA con rótulas concentradas — está desacoplada de la ambigüedad constitutiva: ahí el efecto geométrico sobre el equilibrio es $O(\theta)$, la ambigüedad de medida de deformación aporta $O(\varepsilon^2) \sim 10^{-6}$, y la elasticidad lineal con cinemática exacta está bien puesta y da precisión real. Lo que no está bien puesto es la deformación finita sin decisión constitutiva. El principio, enunciado con el borde a la vista: refinar la cinemática más allá de $O(\varepsilon)$ sin una decisión constitutiva del mismo orden es precisión ilusoria.

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